EC 2

Uite cum sta situatia cand e vorba de matematica. Pentru demonstrarea teoremei anterioare, un student are nevoie de 'prerequisites' Mai exact de principiul contractiilor. Iar pentru asta si pe langa asta chestii relativ fundamentale precum convergenta, sir Cauchy si contractii.

* Spatiul metric este unu cuplu (X,d) unde X=!multimea vida, iar d:X*X -> R cu proprietatile:
i) d(u,v)>= 0, d(u,v) =0 <=> u=v;
ii) d(u,v)=d(v,u);
iii) d(u,w) <= d(u,v) + d(v,w) (aka inegalitatea triunghiului); oricare ar fi u,v,w din X. Aplicatia d se cheama metrica pe X. * Convergenta: (Xn) inclus in X; Xn ----> x din X daca d(Xn,x)->0 cand n->infinit.
*Sir Cauchy: (Xn) inclus in X este Cauchy daca oricare ar fi epsilon> 0, exista N(epsilon)> ) (numit si rang) astfel incat d(Xm,Xn) <= epsilon iar m,n>= N(epsilon).

* Contractie: Fie (X,d) si (X',d') doua spatii metrice. Spunem ca o aplicatie T:X->X' este contractie daca exista L, 0<=L<1>

TH: Orice contractie este o aplicatie uniform continua

TH: Principiul contractiilor (cunoscut si sub numele de Banach)

Fie (X,d) spatiu metric complet , T: X->X contractie, d(Tx1,Tx2) <= L*d(x1,x2) oricare x1,x2 din X si 0<=L<1;

Atunci exista un unic punct fix pt T in X (exista un unic x' din X' a.i. Tx'=x').