Detalii

1. Teorema de existenta si miscare a solutiei problemei Cauchy pentru ecuatii diferentiale de ordinul intai.

In R^2 consideram (t0,x0) si multimea compacta K={(t,x) din R^2 | |t-t0| <=a, |x-x0| <=b}, cu a,b>0 reale date. Fie f:K->R aplicatie continue si Lipschitz in raport cu x, uniforma cu t.
Notam h din R, h>0 cu proprietatea ca h<=min{a,b/M}, unde M=max|f(t,x)|, si h<1/L, unde L este constanta Lipschitz.
Atunci exista o unica solutie a problemei Cauchy, definita pe [t0-h,t0+h].
---
Altfel spus, exista o unica functie x:I->R cu proprietatea ca x e derivabila cu derivata continua pe [t0-h,t0+h] si Graph(x)={(t,x(t)) | t din I} inclusa in K.

Nota: pentru demonstrarea teoremei utilizam:
- principiul contractiilor
- definim C(K,R)=C(K)={x:K->R | x continua}. Definim de asemenea o norma: ||x|| pe C(K) = ||x|| pe C = max|x(t)| cu t din K. Vom demonstra ca (C(K), || ||) formeaza un spatiu normat complet (Banach).

2. Teorema lui Peano

Sunt exact aceleasi ipoteze ca la teorema de la 1. mai putin faptul ca aplicatia f este doar continua. Lipseste proprietatea de Lipschitz pe x, uniform cu t. Iar concluzia teoremei este din nou identica cu cea de la teorema 1 mai putin faptul ca lipseste unicitatea solutiei.

3. Teorema Ascoli-Arzela

Fie (f de alfa) cu alfa din A o familie marginita din C(I) [mai sus definit]. Atunci, aceasta familie este relativ compacta in C(I) <=> este equicontinua in C(I).

4. Teorema lui Schauder

Consideram (X, || ||) spatiu normat si K din X, cu K=marginita, convexa si inchisa. Fie T:K->K compact (adica T continua si T(K)= relativ compacta). Atunci exista x din K a.i. x=Tx.
---
Altfel spus, Fix(T) = {x din K| x=Tx} diferita de multimea vida.

Notiuni teoretice ajutatoare:

Fie A din R^n, g:A->R^n. Spunem ca g este Lipschitz pe A daca exista L>0 o constanta astfel incat ||g(u)-g(v)|| pe R^n <= L * ||u-v|| pe R^n, oricare u,v din A.
Orice functie Lipschitz este uniform continua.

T:A din (X,|| ||) -> (Y,|| ||) se numeste compacta daca:
i) T este continua
ii) transforma orice multime marginita intr-o multime relativ compacta, adica pentru A=marginita => T(A) = relativ compacta.

(X,d) se numeste spatiu metric cu d:X x X -> R cu proprietatile:
i) d(u,v)>=0 ; d(u,v)=0 <=> u=v;
ii) d(u,v) = d(v,u)
iii) d(u,v) <= d(u,v) + d(v,w) -> Inegalitatea triunghiului

Fie (x indice n) din X sir. Acesta este sir Cauchy daca oricare epsilon > 0, exista N(epsilon) a.i. pentru m,n>=N(epsilon) avem d(x indice m, x indice n) <= epsilon.


V