EC 1

Teorema de existenta si unicitate a solutiei problemei Cauchy pentru ecuatii diferentiale scalare de ordinul intai.

Acesta a fost primul lucru scris in prima zi din primul curs cu noul profesor. 

Nici doua randuri mai tarziu ne-am lovit de termenul 'functie Lipschitz'. Iar peste alte doua randuri deja ne lua ameteala. E clar ce ne asteapta pe viitor, nu?

In alta ordine de idei. 

Fie  A multine nevida din R^n si o functie g definita pe A cu valori in R^n. Atunci spunem ca g e Lipschitz daca exista o constanta L>0 a.i.  ||g(u)-g(v)|| <= L||u-v||, oricare u,v din A. 

Cat despre teorema de la inceput.

Se considera(t0,x0) in R^2. Fie a>0 si b>0, K={(t,x) din R^2| |t-t0|<= a,  |x-x0|<=b}. Fie f:K->R continua si Lipschitz in raport cu x, uniform cu t. Notam h un numar real ce satisface:

0<= m="max(f(t,x))">

    h < l=" constanta">

Atunci exista o unica solutie a problemei Cauchy

 x'=f(t,x); x(t0)=xo. definita pe [t0-h,to+h].

EX:
g apartine Lip(A). Atunci g este uniform continua;

Oricare ar fi epsilon >0, cum ||g(u)-g(v)||<=L||u-v||

  ||g(u-g(v)|| <> ||u-v||

V