Algebra

Fie R un domeniu si a,b din R. Spunem ca a DIVIDE b ( in R) daca exista c din R astfel incat b=a*c.
Asta e definitia clara pe care o invata oricine in liceu. Daca nu chiar din generala :)).

Sunt 3 metode care pot fi apelate cand se cere demonstrarea existentei divizibilitatii.
Mai exact: 3+i divide 7+4*i? Raspunsul este evident daca consideram C drept domeniu. Intrebarea ar fi ce se intampla daca R=Z[i].
Z[i]={ a+b*i | a,b din Z}

Prima varianta

Si cea clasica practic. Ne folosim de definitie:
Presupunem ca 3+i | 7+4*i (in R) => Exista a,b din Z astfel incat 7+4*i=(3+i)*(a+b*i).
Din asta => din calcule ca 10*a=25 contradictie cu faptul ca a e din Z astfel presupunea facuta este falsa.
Ramane ca 3+i nu divide 7+4*i.
A doua varianta

A doua este cea mai rapida metoda de calcul.
Se ia z= (7+4*i) / (3+i).
z= (25+5*i) /10 (prin inmultirea cu conjugatul)
z=(5+i)/2
z= 5/2 + (1/2)*i care nu apartine lui R, contradictie.
Ramane ca 3+i nu divide 7+4*i

A treia varianta

Definim N:R->N, N(a+b*i) = a^2 + b^2. (obs: N(z)=z*z' unde z' este conjugatul)
Fie z,w din R.
N(z,w)=z*w*(z*w)'=z*z'*w*w'=N(z) * N(w).
Presupunem ca z|w (in R) => exisa p din R astfel inca w=z*p => N(w)=N(z)*N(p) deci N(z) | N(w) in Z.
La noi, N(3+i)=10; N(7+4*i) = 65, 10 nu divide 65, ramane ca 3+i nu divide 7+4*i.

Practic, aceasta ultima varianta ne arata foarte usor daca a,b nu se divid. Mai exact, daca normele celor doua numere nu se divide atunci nici numerele nu se divid. ATENTIE: daca normele se divid asta nu inseamna ca si numerele se vor divide.


Asadar, cand se cere sa verificam daca 1+i divide 2+i sau 1+2*i divide 2-i si asa mai departe intai se calculeaza normele celor doua. Daca normele nu se divid am terminat problema. Daca se divid, atunci se foloseste prima sau a doua varianta. Cel mai des, a doua.

V